Question

如图，三棱柱中，平面，，，以，为邻边作平行四边形，连接，.

（1）求证：平面；

（2）若二面角为.

①求证：平面平面；

②求直线与平面所成角的正切值.

Answer

（1）证明见解析；（2）①证明见解析，②.

【解析】

试题（1）先证明四边形 为平行四边形，从而可得 ，根据直线与平面平行的判定定理可得平面；（2）设 中点为 ，先证明 是二面角为，由此可计算出 的值，根据勾股定理可得，，从而可得平面，进而可得结果；利用 平面，可得为直线与平面所成的角，利用直角三角形的性质可得结果.

试题解析：（1）连接 且,

所以四边形为平行四边形 ,

又平面，平面， //平面 ,

（2）①取中点M，连接

,

又 为二面角的平面角 ,

中， ,

,

又 , 平面

又 ， 平面 ，平面， 所以平面平面

②， 平面所成角与平面所成角相等,

由（2）知 , 平面

为线在平面内的射影,

为直线与平面所成角,

在 中， ,

直线与平面所成角的正切值为

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、直线和平面成的角的定义及求法、二面角的求法，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.