Question

已知函数，．

（1）若，求函数的极值；

（2）设函数，求函数的单调区间；

（3）若在上存在，使得成立，求的取值范围．

Answer

（1）在处取得极小值1，无极大值；（2）见解析；（3）或．

【解析】

（1），，解即可得到函数的单调性，进而得到极值的情况；

（2），分类讨论当时，当时导函数的正负情况即可得单调性；

（3）将题目转化为函数在上的最小值小于零，结合（2）讨论的单调性分类讨论即可．

（1）若，，

，

得，得，

所以在递减，在递增，

所以在处取得极小值1，无极大值；

（2）

的正负情况与的正负情况一致，

当时，得，得，

在上单调递减，在上单调递增；

当时，，，在上单调递增．

（3）在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值小于零．

由（2）可知：

①，即时，在上单调递减；所以的最小值为，由可得，因为，所以；

②，即时，在上单调递增，所以最小值为，由可得；

③当，即时，可得最小值为，因为，所以，，故，此时，不成立，

综上讨论可得所求的范围是：或．