Question

已知函数.

（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）设，若，恒有成立，求的最小值.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）由在上单调递增，可得在上恒成立，利用分离参数法求出的范围即可；

（2）设，，根据条件求出的范围后，根据，可得的最小值.

【解析】
（1）由，得，

由在上单调递增，可得在上恒成立，

即在上恒成立，

当时，；当，则，∴，

∴的取值范围为.

（2）设，，

则.

设，则，

∴单调递增，即在上单调递增，

∴.

当时，，在上单调递增，∴，不符合题意；

当时，，在上单调递减，，符合题意；

当时，由于为一个单调递增的函数，

而，，

由零点存在性定理，必存在一个零点，使得，

从而在上单调递减，在上单调递增，

因此只需，∴，

∴，从而，

综上，的取值范围为，

因此.

设，则，

令，则，

∴在上单调递减，在上单调递增，

从而，

∴的最小值为.