Question

如图，在三棱柱中，侧面底面，四边形是边长为2的菱形，，，，E，F分别为AC，的中点．

（1）求证：直线EF∥平面；

（2）设分别在侧棱，上，且，求平面BPQ分棱柱所成两部分的体积比．

Answer

（1）见解析（2）（或者）

【解析】

（1）取A1C1的中点G，连接EG，FG，证明FG∥A1B1．推出FG∥平面ABB1A1．同理证明EG∥平面ABB1A1，从而平面EFG∥平面然后证明直线EF∥平面ABB1A1；

（2）证明BE⊥AC．推出BE⊥平面ACC1A1．求出四棱锥B﹣APQC的体积，棱柱ABC﹣A1B1C1的体积，即可得到面BPQ分棱柱所成两部分的体积比．

（1）取的中点G，连接EG，FG，

由于E，F分别为AC，的中点，

所以FG∥．又平面，平面，

所以FG∥平面．

又AE∥且AE＝，

所以四边形是平行四边形．

则∥．又平面，平面，

所以EG∥平面．

所以平面EFG∥平面．又平面，

所以直线EF∥平面．

（2）四边形APQC是梯形，

其面积 ．

由于，E分别为AC的中点.

所以．

因为侧面底面，

所以平面．

即BE是四棱锥的高，可得．

所以四棱锥的体积为．

棱柱的体积．

所以平面BPQ分棱柱所成两部分的体积比为（或者）．