Question

如图,在四棱锥中, 平面平面,.

（1）求证:平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）在棱上是否存在点,使得平面？若存在, 求的值；若不存在, 说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.

【解析】

试题（Ⅰ）由面面垂直的性质定理知AB⊥平面，根据线面垂直的性质定理可知，再由线面垂直的判定定理可知平面；（Ⅱ）取的中点，连结，以O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法可求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）假设存在，根据A，P，M三点共线，设，根据BM∥平面PCD，即（为平面PCD的法向量），求出的值，从而求出的值.

试题解析：（Ⅰ）因为平面平面，，

所以平面.

所以.

又因为，

所以平面.

（Ⅱ）取的中点，连结.

因为，所以.

又因为平面，平面平面，

所以平面.

因为平面，所以.

因为，所以.

如图建立空间直角坐标系.由题意得，

.

设平面的法向量为，则

即

令，则.

所以.

又，所以.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（Ⅲ）设是棱上一点，则存在使得.

因此点.

因为平面，所以平面当且仅当，

即，解得.

所以在棱上存在点使得平面，此时.