Question

已知函数.

（1）若函数的最小值为0，求的值；

（2）设，求函数的单调区间；

（3）设函数与函数的图像的一个公共点为，若过点有且仅有一条公切线，求点的坐标及实数的值.

Answer

（1）；（2）单调区间见解析；（3），

【解析】

（1）分类讨论参数的值，利用导数得出函数的单调性，根据最值求出的值；

（2）函数整理为，分类讨论参数的值，利用导数求函数的单调性即可；

（3）设出点P坐标，求出坐标间的关系得出，构造函数，讨论函数的单调性解方程即可.

（1）首先，因，故，

注意到，故当时，，则函数在单调递增，函数无最小值；

当时，若，，若，

所以函数在单调递减，在单调递增

故函数在处取最小值，则，即，故；

（2）因，故

①若，则，函数在上单调递增；

②若

当，即，也即时

若时，或

若时，

所以函数在区间单调递增，在，单调递减；

当，即，也即时

若时，或

若时，

所以函数的单调区间是，单调减区间是和

当时，

所以函数的单调递减区间是

综上：

当，函数的单调递区间是；

当时，函数的单调区间是，单调减区间是和

当时，函数的单调递减区间是；

当时，函数的单调递增区间是；单调递减区间是和.

（3）设点，

由题意得，即 ，解得

构造函数，，

当时，；当时，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，而

所以方程有唯一解，即

所以