Question

设，为正整数，一个正整数数列满足.对，定义集合.数列中的是集合中元素的个数.

（1）若数列为5，3，3，2，1，1，写出数列；

（2）若，，为公比为的等比数列，求；

（3）对，定义集合，令是集合中元素数的个数.求证：对，均有.

Answer

（1）数列为；（2）；（3）证明见解析

【解析】

（1）根据题意得出求出，即可得出数列；

（2）根据题意得出,从而写出数列,假设数列中有个，个,…,个,个,结合题设条件证明,利用等比数列的求和公式即可得出；

（3）利用（2）中结论得出，接下来证明对，即可得出.

（1）

数列为

（2）由题意知，则

因为数列为公比为的等比数列，所以数列为

假设数列中有个，个,…,个,个

所以

由题意可知

…

…

所以

所以

（3）对,表示数列中大于等于的个数，即

由(2)知

…

并且

所以

设，则，即，从而

故

从而，故，而，故有

设，即，根据集合的定义，有

由知，，由的定义可得

而由，故

由此，对，均有.