Question

已知函数，其中.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明：；

（3）求证：对任意正整数，都有（其中，为自然对数的底数）.

Answer

（1）讨论见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析

【解析】

（1）求出，按在定义域是否恒成立分类讨论，不恒成立，求出，的解，即可求出结论；

（2）要证，只需证，令，只要证，求导，求出极值最值，即可得证；

（3）由（2）得（当且仅当时等号成立），令，则，结合，累加再利用裂项相消法，对数运算，即可得出结论.

（1）函数的定义域为，，

①当时，，所以在上单调递增；

②当时，令，解得：，

当时，，所以在上单调递减，

当时，，所以在上单调递增.

综上，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增.

（2）当时，，

要证明，即证，即，

设，则，令得，.

当时，，当时，，

所以为极大值点，也为最大值点，

所以，即，

故.

（3）由（2）得（当且仅当时等号成立），

令，则，

所以

，

即，

所以.