Question

在直角坐标系中，已知定点、，动点满足，设点的曲线为，直线与交于两点.

（1）写出曲线的方程，并指出曲线的轨迹；

（2）当，求实数的取值范围；

（3）证明：存在直线，满足，并求实数的取值范围.

Answer

（1），曲线的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支；（2）或；（3）详见解析，，

【解析】

（1）结合双曲线的定义，可知点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支，求出轨迹方程即可；

（2）将直线与的方程联立，消去，可得到关于的一元二次方程，令，求解即可；

（3）联立直线与的方程，得到关于的一元二次方程，由，可得，设，则，结合根与系数关系，可得到，若存在符合题意的直线，还需要满足以下三个条件：①；②；③，求解即可.

（1）动点满足，且、，所以点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支，，，，

所以曲线的方程为；

（2）由题意，联立，消去，得，

，解得或.

故的取值范围是或.

（3）因为，所以，设，则.

联立，可得，，

则，，

所以，整理得.

若存在符合题意的直线，还需要满足以下三个条件：①；②；③.

①，整理得，又，则，显然恒成立；

②，等价于，

因为恒成立，所以，即；

③，由②知，所以.

所以满足，即.

又因为，所以，且，故.

所以存在直线，满足，的取值范围为：，的取值范围为：.