Question

如图，在平行六面体中，，，平面，与底面所成角为，．

（1）求证：平行六面体的体积，并求的取值范围；

（2）若，求二面角所成角的大小.

Answer

（1）证明见解析，；（2）.

【解析】

（1）由平面，可得，然后用表示，可证明结论，利用的取值范围，并结合三角函数的性质，可求得的取值范围；

（2）证明直线两两垂直，然后分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求出二面角的余弦值，进而可求出答案.

（1）∵，，平面，，

∴平行六面体的体积.

又，则，

∵，∴，.

∴求的取值范围是.

（2）∵，∴，，∴直线两两垂直.

分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

，，设平面的法向量为，

则，即，取，可得，

平面的一个法向量为，

设二面角所成角为，则，

所以二面角所成角的大小为.