Question

已知函数，.

（1）若，函数在上有三个零点，求实数的取值范围；

（2）若常数，且对任何，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）当时，；当时，；当时，

【解析】

（1）时，方程有三个解，即函数与在上有三个交点，结合函数的图象，可得出结论；

（2）不等式恒成立，由，可得，令，可知，所以恒成立，只需，分别求出，即可得出答案.

（1）时，，令，则.

令，则，

作出的图象，如下图：

当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增，且，.

方程在上有三个解，即函数与在上有三个交点，结合图形可得，解得.

（2）由题意，恒成立，

由，可得，即，所以，

令，由，可知，所以恒成立，只需满足.

①因为函数在上单调递增，所以；

②函数在上的单调性为：在上单调递减，在上单调递增.

所以，当，即时，；

当，即时，；

当，即时，；

综上，当时，；当时，；当时，.