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在直角坐标系中,已知定点、,动点满足,设点的曲线为,直线与交于两点. (1)写出...

在直角坐标系中,已知定点,动点满足,设点的曲线为,直线交于两点.

1)写出曲线的方程,并指出曲线的轨迹;

2)当,求实数的取值范围;

3)证明:存在直线,满足,并求实数的取值范围.

 

(1),曲线的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支;(2)或;(3)详见解析,, 【解析】 (1)结合双曲线的定义,可知点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支,求出轨迹方程即可; (2)将直线与的方程联立,消去,可得到关于的一元二次方程,令,求解即可; (3)联立直线与的方程,得到关于的一元二次方程,由,可得,设,则,结合根与系数关系,可得到,若存在符合题意的直线,还需要满足以下三个条件:①;②;③,求解即可. (1)动点满足,且、,所以点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支,,,, 所以曲线的方程为; (2)由题意,联立,消去,得, ,解得或. 故的取值范围是或. (3)因为,所以,设,则. 联立,可得,, 则,, 所以,整理得. 若存在符合题意的直线,还需要满足以下三个条件:①;②;③. ①,整理得,又,则,显然恒成立; ②,等价于, 因为恒成立,所以,即; ③,由②知,所以. 所以满足,即. 又因为,所以,且,故. 所以存在直线,满足,的取值范围为:,的取值范围为:.
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