Question

若数列：，满足，则称为数列，并记.

（1）写出所有满足，的数列；

（2）若，，证明：数列是递减数列的充要条件是；

（3）对任意给定的正整数，且，是否存在的数列，使得？如果存在，求出正整数满足的条件；如果不存在，说明理由.

Answer

（1）；；；；；（2）见解析；（3）存在，或

【解析】

（1）结合数列的性质，列出满足题意的数列即可；

（2）结合数列的性质，分别从充分性和必要性两方面证明结论即可；

（3）令，可得，，可求得的表达式，，讨论表达式的奇偶性，可得出结论.

（1）由题意，满足，的数列可以是：；；；；.

（2）必要性证明：

因为数列递减，所以，即，所以是等差数列，通项公式为，所以时，.

充分性证明：

由，可得，即，

则，相加得，即，所以，

又因为，所以，即数列是递减数列.

综上所述，若，，则数列是递减数列的充要条件是.

（3）设，则，

所以，

，

，

，

则

，

令，则，

因为，所以是偶数，

所以为偶数，即或时，存在满足题意的数列，

当或时不存在.

综上所述，当或时，存在满足题意的数列.