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若侧面积为的圆柱有一外接球O,当球O的体积取得最小值时,圆柱的表面积为_____...

若侧面积为的圆柱有一外接球O,当球O的体积取得最小值时,圆柱的表面积为_______.

 

【解析】 设圆柱的底面圆的半径为,高为,则球的半径,由圆柱的侧面积,求得,得出,得到得最小值,进而求得圆柱的表面积. 由题意,设圆柱的底面圆的半径为,高为,则球的半径. 因为球体积,故最小当且仅当最小. 圆柱的侧面积为,所以,所以,所以, 当且仅当时,即时取“=”号,此时取最小值, 所以,圆柱的表面积为.
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