Question

如图所示，正三角形的边长为2，分别在三边和上，为的中点，．

（Ⅰ）当时，求的大小；

（Ⅱ）求的面积的最小值及使得取最小值时的值．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）当时，取最小值

【解析】

试题本题主要考查正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，在中，，①，而在中，利用正弦定理，用表示，在中，利用正弦定理，用表示，代入到①式中，再利用两角和的正弦公式展开，解出，利用特殊角的三角函数值求角；第二问，将第一问得到的和代入到三角形面积公式中，利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式，利用正弦函数的有界性确定的最小值．

试题解析：在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得．由，得，整理得，所以．

（2）＝

．

当时，取最小值．