Question

已知四棱台的上下底面分别是边长为和的正方形，且底面，点为的中点.

（1）求证：平面；

（2）在边上找一点，使平面，并求三棱锥的体积.

Answer

(1)证明见解析.

(2).

【解析】

(1) 取中点，由平几相似得，再由底面得 ，又是正方形，有，因此平面，即得，最后根据线面垂直判定定理得结论，(2) 在边上取一点，使，由平几知识得四边形是平行四边形，即有平面. 设，由（1）得为高，最后根据锥体体积公式求结果.

（1）取中点，连结，，

在，∴平面.

∵面，面，∴，∵是正方形，∴，

又平面，平面，，

∴平面，∵平面，∴.

∵，，，

∴，∴，∵，∴，

∴，

∵平面，平面，，

∴平面.

（2）在边上取一点，使，

∵为梯形的中位线，，，

∴，，又∵，

∴，

∴四边形是平行四边形，

∴，又平面，平面，

∴平面.

∵平面，平面，

∴，

∵，，∴，

设，则.∴.

∴ .