Question

已知，（其中常数）.

（1）当时，求函数的极值；

（2）若函数有两个零点，求证：.

Answer

（1）有极小值，无极大值；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求出a＝e的函数的导数，求出单调区间，即可求得极值；（2）先证明：当f（x）≥0恒成立时，有 0＜a≤e成立．若，则f（x）＝ex﹣a（lnx+1）≥0显然成立；若，运用参数分离，构造函数通过求导数，运用单调性，结合函数零点存在定理，即可得证.

函数的定义域为，

（1）当时，，，在单调递增且

当时，，所以在上单调递减；

当时，，则在上单调递增，

所以有极小值，无极大值.

（2）先证明：当恒成立时，有成立

若，则显然成立；

若，由得，令，则，

令，由得在上单调递增，

又∵，所以在上为负，递减，在上为正，递增，∴ ，从而.

因而函数若有两个零点，则，所以，

由得，则，

∴在上单调递增，∴，

∴在上单调递增∴，则

∴，由得，

则，∴，综上.