Question

设函数,其中.

(Ⅰ)当时,求函数的零点;

(Ⅱ)若对任意,恒有,求实数a的取值范围.

Answer

(Ⅰ) , (Ⅱ)

【解析】

（I）当时，将表示为分段函数的形式，结合一元二次方程的解法，求得的零点.

（II）方法一：当时，求得表达式，结合二次函数对称轴和单调性以及列不等式，解不等式求得的值.当时，分成和两种情况进行分类讨论，结合函数的单调区间和最值列不等式（组），由此求得的取值范围.

方法二：利用在区间端点的函数值不小于列不等式组，解不等式组求得的取值范围，再结合二次函数的性质，证明对所求得的的取值范围，恒有.

（Ⅰ）当时,,

（i）当时,令,即,解得;

（ⅱ）当时,令,即,此方程,无实数解.

由（i）（ⅱ）,得的零点为,

（Ⅱ）方法1.（i）当时,

对于,得,

显然函数在上递减,

要使恒成立,只需,

即,

得,又,

所以符合题意.

（ⅱ）当时,

由,知函数在上递增,在上递减.以下对a再进行分类

当,即时,

函数在上递增,在上递减.

此时,

只需,

即解得,即

又,所以符合题意.

当,即时,

函数在上递增.

要使恒成立,只需,

即,得,

又所以符合题意.

由（i）（ⅱ）,得实数a的取值范围是.

方法2.因为对任意,恒有,所以,

即,解得.

下面证明,当时,对任意,恒有,

（i）当时,递增,

故成立;

（ⅱ）当时,,

,,

故成立.

由此,对任意,恒有,