Question

如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，为上的点，且平面

（1）求证：平面平面；

（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值．

Answer

（1）见证明；（2）.

【解析】

（1）通过侧面底面，可以证明出面，这样可以证明出

，再利用平面，可以证明出，这样利用线面垂直的判定定理可以证明出面，最后利用面面垂直的判定定理可以证明出平面平面；

（2）利用三棱锥体积公式可得，

利用基本不等式可以求出三棱锥体积最大值，此时可以求出的长度，以点为坐标原点，以，和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系．求出相应点的坐标，求出面的一个法向量，面的一个法向量，利用空间向量数量积的运算公式，可以求出二面角的余弦值.

（1）证明：∵侧面底面，侧面底面，四边形为正方形，∴，面，

∴面，

又面，

∴，

平面，面，

∴，

，平面，

∴面，

面，

∴平面平面．

（2），

求三棱锥体积的最大值，只需求的最大值．

令，由（1）知，，

∴，

而，

当且仅当，即时，

的最大值为．

如图所示，分别取线段，中点，，连接，，

以点为坐标原点，以，和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系．

由已知，

所以，

令为面的一个法向量，

则有，

∴

易知为面的一个法向量，

二面角的平面角为，为锐角

则.