Question

已知．

（1）设是的极值点，求实数的值，并求的单调区间：

（2）时，求证：．

Answer

（1） 单调递增区间为，单调递减区间为； （2）见解析.

【解析】

（1）由题意，求得函数的导数，由是函数的极值点，解得，又由，进而得到函数的单调区间；

（2）由（1），进而得到函数的单调性和最小值，令，利用导数求得在上的单调性，即可作出证明.

（1）由题意，函数的定义域为，

又由，且是函数的极值点，

所以，解得，

又时，在上，是增函数，且，

所以，得，，得，

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）由（1）知因为，在上，是增函数，

又（且当自变量逐渐趋向于时，趋向于），

所以，，使得，

所以，即，

在上，，函数是减函数，

在上，，函数是增函数，

所以，当时，取得极小值，也是最小值，

所以，

令，

则，

当时，，函数单调递减，所以，

即成立，