Question

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，，求的取值范围.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）求出函数的导数，分和两种情况讨论，分析导数的符号变化，即可求出函数的单调区间；

（2）问题变形为，令，由题意得出，根据函数的单调性确定的范围即可．

（1），定义域为且.

①当时，则，则函数在上单调递增；

②当时，由，得，得.

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

此时，函数的单调减区间为，单调增区间为.

综上所述，当时，函数的单调递增区间为；

当时，函数的单调减区间为，单调增区间为；

（2）变形为，

令，定义域为，且，

.

①当时，对任意的，，函数在区间上为增函数，

此时，，合乎题意；

②当时，则函数在上的单调减区间为，单调增区间为.

（i）当时，即当时，则函数在区间上为增函数，

此时，则函数在区间上为增函数.

此时，，合乎题意；

（ii）当时，即当时，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，，

又，所以，函数在区间上单调递减，

当时，，不合乎题意.

综上所述，实数的取值范围是.