Question

已知数列是无穷数列，满足.

（1）若，，求、、的值；

（2）求证：“数列中存在使得”是“数列中有无数多项是”的充要条件；

（3）求证：在数列中，使得.

Answer

（1），，；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）由，，结合可得、、的值；

（2）分必要性和充分性证明，充分性利用反证法证明；

（3）利用反证法，假设数列中不存在，使得，则或，然后分类推出矛盾得答案．

（1），，，

，则；

，则；

，则.

因此，，，

（2）必要性：已知数列中有无数多项是，

则数列中存在使得.

数列中有无数多项是，数列中存在使得，

即数列中存在使得；

充分性：已知数列中存在使得，则数列中有无数多项是.

假设数列中没有无数多项是，不妨设是数列中为的最后一项，则，若，

则由，可得，

，则，与假设矛盾；

若，则由，可得，

，

，

，

，得，与假设矛盾，原命题正确.

由上可知，“数列中存在使得”是“数列中有无数多项是”的充要条件；

（3）假设数列中不存在，使得，

则或，由，

可得①，且，

当时，，由假设知.

若，则，与矛盾；

若，设，则，

由①可得，，

，即，，

对于，显然存在使得，，这与矛盾.

所以，假设不成立，原命题正确.