Question

设、、…、为平面内的个点，在平面内的所有点中，若点到、、…、点的距离之和最小，则称点为、、…、点的一个“中位点”，有下列命题：①、、三个点共线，在线段上，则是、、的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直线三角形三个顶点的中位点；③若四个点、、、共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点；其中的真命题是（          ）

A.②④ B.①② C.①④ D.①③④

Answer

C

【解析】

根据中位点的定义以及空间中的点与线的位置关系等逐个证明或举反例即可.

①若三个点共线,在线段上,根据两点之间线段最短,

则是的中位点,正确；
②举一个反例,如边长为的直角三角形,此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为,而直角顶点到三个顶点的距离之和为7,
∴直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点；故错误；
③若四个点共线,则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点,故它们的中位点存在但不唯一；故错误；
④如图,在梯形中,对角线的交点是任意一点,则根据三角形两边之和大于第三边得,
∴梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．正确．

故①④正确.
故选：C