Question

将所有平面向量组成的集合记作，是从到的对应关系，记作或，其中、、、都是实数，定义对应关系的模为：在的条件下的最大值记作，若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特殊值；

（1）若，求；

（2）如果，计算的特征值，并求相应的；

（3）若，要使有唯一的特征值，实数、、、应满足什么条件？试找出一个对应关系，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值，②，并验证满足这两个条件.

Answer

(1) ；(2) 当时,;当时, .其中且；(3) ,证明见解析

【解析】

(1)由新定义得,再利用得即可.

(2)由特征值的定义可得,由此可得的特征值,及相应的

(3) 解方程组,再利用平行向量的方法求解证明即可.

(1)由于此时,又因为是在的条件下,有,当时取最大值,所以此时有;

(2)由,可得：,

解此方程组可得：,从而.

当时,解方程组,此时这两个方程是同一个方程,所以此时方程有无穷多个解,为 (写出一个即可),其中且.

当时,同理可得,相应的 (写出一个即可),其中且 (3)解方程组,可得从而向量与平行,从而有、、、应满足：.

当时,有唯一的特征值,且.具体证明为：

由的定义可知：,所以为特征值.

此时满足：,所以有唯一的特征值.

在的条件下,从而有.