Question

已知数列满足,.

（1）若,证明：；

（2）若,记,问：是否存在常数,使得对均成立.

Answer

（1）证明过程见详解；（2）存在常数，使得对均成立.

【解析】

（1）根据数学归纳法证明，即可得出结论成立；

（2）先由（1）的方法，得到恒成立；根据题中条件，用裂项的方法得到，求出，即可得出结果.

（1）先用数学归纳法证明如下：

当时，因为显然成立；

假设时，成立；则，，

所以也成立；

即时，也满足成立；

综上，对任意恒成立；

所以显然成立；

也成立，即，

因此；

（2）由，同（1）可得：恒成立；

因为，

所以，即，

所以

，

为使对均成立，只需即可.

即存在常数，使得对均成立.