Question

已知为定义在上的偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为__________.

Answer

【解析】

根据题意，分析可得f（x+1）﹣f（x+2）＞2x+3⇒f（x+1）+（x+1）2＞f（x+2）+（x+2）2⇒g（x+1）＞g（x+2），由函数奇偶性的定义分析可得g（x）为偶函数，结合函数的单调性分析可得g（x+1）＞g（x+2）⇒|x+1|＞|x+2|，解可得x的取值范围，即可得答案．

根据题意，g（x）＝f（x）+x2，

则f（x+1）﹣f（x+2）＞2x+3⇒f（x+1）+（x+1）2＞f（x+2）+（x+2）2⇒g（x+1）＞g（x+2），

若f（x）为偶函数，则g（﹣x）＝f（﹣x）+（﹣x）2＝f（x）+x2＝g（x），即可得函数g（x）为偶函数，

又由当x∈（﹣∞，0]时，g（x）单调递增，则g（x）在[0，+∞）上递减，

则g（x+1）＞g（x+2）⇒|x+1|＜|x+2|⇒（x+1）2＜（x+2）2，解可得x，

即不等式的解集为（，+∞）；

故答案为：（，+∞）．