Question

定义域为的函数满足：对于任意的实数，都有成立，且当时，恒成立，且（是一个给定的正整数）.

（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；

（2）时，解关于的不等式.

Answer

（1） 为奇函数，证明见解析；（2）①当 时，原不等式的解集为或；②当 时，原不等式的解集为；③当 时，原不等式的解集为或.

【解析】

（1）利用函数奇偶性的定义，结合抽象函数关系，利用赋值法进行证明;（2）先证明函数的单调性，再利用抽象函数关系，结合函数奇偶性和单调性定义转化为一元二次不等式，讨论参数的范围进行求解即可

（1） 为奇函数，证明如下；

由已知对于任意 实数，都有 恒成立．

令，得

所以．

令，得．

所以对于任意，都有．

所以 是奇函数．

（2）设任意， 且，则，由已知，

又

得，

根据函数单调性的定义知 在 上是减函数．

．，

（a）．

所以，

所以 ，

因为 在 上是减函数，

所以．

即，

因为，所以．

讨论：

①当，即 时，原不等式的解集为或；

②当，即 时，原不等式的解集为；

③当，即 时，原不等式的解集为或．

故①当 时，原不等式的解集为或；②当 时，原不等式的解集为；③当 时，原不等式的解集为或.