Question

已知数列是等比数列,且,,数列满足:对于任意,有.

(1)求数列的通项公式;

(2)若数列满足:,,设,当且仅当时,取得最大值,求的取值范围.

Answer

（1）；（2）

【解析】

(1) 通过，，利用等差数列性质可知:， 即可求得q的值，求得，由等比数列通项公式即可求得数列的通项公式；

(2) 与

作差，通过即可求得数列，亦可得出的通项公式，从而可知中大于零的项，根据最大，一一验证，时，求出的范围，并注意什么时候，当且时，，由此可知的取值范围.

(1),

由等比数列性质可知:,

，

由等比数列通项公式可知

数列的通项公式.

(2)，

当时,

，

两式相减得：

，

即，

又，即满足上式，.

（2）

得，又，，得，

当为奇数时，，当为偶数时，，

当为奇数时，为单调递减，当时，，

又，当且时，，

由可知，

，且当且仅当时，取得最大值，

因此只需要看的项，

因此，解得，而且，因此，

并且，解得，又，

当，，所以，

综上的取值范围.