Question

已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且图象的一条对称轴为.

（1）求函数的解析式及对称中心；

（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到函数的图象，若关于x的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围.

Answer

（1），对称中心：，.（2）或

【解析】

（1）由题意可得函数的周期为，根据周期公式可得，再由是函数的一条对称轴，可得，求出即可求出解析式，令，即可求解.

（2）由函数的平移变换求出，在递增，递减，令，只需在时仅一实根，利用一元二次方程根的分布即可求解.

（1）函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离为，

，解得，

又因为是函数的一条对称轴，所以

解得，又，所以，

所以，

令，解得

所以对称中心：，.

（2），且在递增，递减，

令，，则方程在时仅一实根

令，且，

则只需或

解得或.