Question

如图所示，在四棱锥中，底面四边形为正方形，已知平面，，.

（1）证明：；

（2）求与平面所成角的正弦值；

（3）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求的值并证明，若不存在，说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）存在，，理由见解析

【解析】

（1）如图，连接交于点，证明平面得到答案.

（2）如图建立空间直角坐标系，计算平面的法向量为，再利用向量夹角公式计算得到答案.

（3）存在，设，则，则平面的法向量为

，利用向量垂直计算得到答案.

（1）如图，连接交于点，由于平面，平面

所以，即

由于，，，所以平面

又因为平面，因此

（2）由于平面，平面，平面，

所以，又，所以，，两两垂直，

因比，如图建立空间直角坐标系

，，，

因此，，

设平面的法向量为，则即

取，，，则

设直线与平面所成角为，

（3）存在，设，则

则，

设平面的法向量为，则，

即，即，，

则，若平面平面，则

即，则

因此在棱上存在点，使得平面平面，