Question

设集合的元素均为实数，若对任意，存在，，使得且，则称元素个数最少的和为的“孪生集”；称的“孪生集”的“孪生集”为的“2级孪生集”；称的“2级孪生集”的“孪生集”为的“3级孪生集”，依此类推……

（1）设，直接写出集合的“孪生集”；

（2）设元素个数为的集合的“孪生集”分别为和，若使集合中元素个数最少且所有元素之和为2，证明：中所有元素之和为；

（3）若，请直接写出的“级孪生集”的个数，及所有“级孪生集”的并集的元素个数.

Answer

（1），；（2）证明见解析；（3），

【解析】

（1）根据集合定义直接得到答案.

（2）将集合中元素从小到大排列：，则“孪生集”

，，构成公差为2的等差数列，计算得到答案.

（3）的“级孪生集”的个数为，计算元素个数得到答案.

（1），

（2）将集合中元素从小到大排列：

则其“孪生集”，，设集合，

由于，，，，

因此集合中元素个数，

若，则有，

即

因此构成公差为2的等差数列，

所以，进而

（3）的“级孪生集”的个数为

所有“级孪生集”的并集的元素个数为.