Question

已知函数是减函数.

（1）试确定a的值；

（2）已知数列，求证：.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）见证明

【解析】

（Ⅰ）求导得，由是减函数得，对任意的，都有恒成立，构造函数，通过求导判断它的单调性，令其最大值小于等于0，即可求出；

（Ⅱ）由是减函数，且可得，当时，，则，即，两边同除以得，，即，从而 ，两边取对数 ，然后再证明恒成立即可，构造函数，，通过求导证明即可．

【解析】
（Ⅰ）的定义域为，.

由是减函数得，对任意的，都有恒成立.

设.

∵，由知，

∴当时，；当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴在时取得最大值.

又∵，∴对任意的，恒成立，即的最大值为.

∴，解得.

（Ⅱ）由是减函数，且可得，当时，，

∴，即.

两边同除以得，，即.

从而 ，

所以 ①.

下面证；

记，.

∴ ，

∵在上单调递增，

∴在上单调递减，

而，

∴当时，恒成立，

∴在上单调递减，

即时，，

∴当时，.

∵，

∴当时，，即②.

综上①②可得，.