Question

如图，正方形所在平面，M是的中点，二面角的大小为.

（1）设l是平面与平面的交线，证明；

（2）在棱是否存在一点N，使为的二面角.若不存在，说明理由：若存在，求长.

Answer

（1）见解析（2）存在，

【解析】

（1）先证明平面，再利用线面平行的性质即得证；

（2）易知二面角的平面角，由此建立空间直角坐标系，并求出各点的坐标，设，求出平面的法向量，根据的二面角为，建立方程，解出即可得出结论.

【解析】
（1）证明：∵四边形为正方形，

∴，

又在平面内，不在平面内，

∴平面，

又平面过直线，且平面平面，

∴：

（2）∵正方形所在平面，

∴易知二面角的平面角即为，

以A为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2，

则，，，，设，

易得平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，又，，

则，则可取，

∴，解得，

故存在存在一点N，使为的二面角，且.