Question

已知抛物线C：，过焦点F的直线l与抛物线C交于M，N两点.

（1）若直线l的倾斜角为，求的长；

（2）设M在准线上的射影为A，求证：A，O，N三点共线（O为坐标原点）.

Answer

（1）8；（2）见解析

【解析】

（1）由题意知直线l的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长：

（2）设直线l的方程与抛物线联立求出两根之积，得出纵坐标之间的关系，求出，的斜率，值相等，结合两直线有公共点O可得三点共线.

【解析】
（1）由题意知抛物线的焦点，直线l的倾斜角为，则直线的斜率为1，

所以直线l的方程：，设，，联立直线与抛物线的方程整理得：，

所以，，

所以弦长，

所以的长为8；

（2）显然直线l的斜率不为0，设直线方程为：，设，，由题意知，

联立直线与抛物线的方程整理为：，，，

因为，

∴，，又有公共点，

所以A，O，N三点共线.