Question

如图，设矩形所在平面与梯形所在平面相交于.若，，.

（1）求证：；

（2）若，求与面所成角的正弦值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）连结、，交于点O，连结，，，从而是边长为1的正三角形，取中点G，连结，，连结，，从而，，由此能求出平面，由此能证明.

（2）过B作，交于点H，连结，以H为原点，为x轴，为y轴，过H作平面的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与面所成角的正弦值.

【解析】
（1）证明：连结、，交于点O，连结，

∵矩形所在平面与梯形所在平面相交于.

，，.

∴，，

∴是边长为1的正三角形，

取中点G，连结，，连结，，

∴，，

∵，平面，平面，

∴平面，

∵平面，

∴.

（2）【解析】
∵，∴三棱锥和三棱锥都是棱长为1的正四面体，

过B作，交于点H，连结，

∴，，，，

∴，

∴以H为原点，为x轴，为y轴，过H作平面的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

，，，

平面的法向量，

设与面所成角为，

则，

∴与面所成角的正弦值为.