Question

在四棱锥中，底面是边长为的菱形，对角线与相交于点，，平面，平面与平面所成的角为45°，是的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）求异面直线与所成角的余弦值；

（3）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）（3）

【解析】

（1）根据线面垂直可以得出，结合菱形的性质，可以得到，进而得出平面，依据面面垂直判定定理可得结果.

（2）取中点，根据平移找到异面直线与所成角，计算长度，利用余弦定理可得结果.

（3）找到平面的垂线并计算垂线段长度，并计算直线在平面的投影的长度，结合三角函数可得结果.

（1）证明：∵平面，∴，

又∵菱形中，且，

∴平面，∴平面平面；

（2）取中点连接，如图所示：

∴//，

∴与所成角为或其补角，

∵菱形中，

∴，且，

∵平面，∴，，

，又∵

∴平面，∴，

∴二面角的平面角为

∴中，；

∴中，∴；

中，

∴中，，

即与所成角余弦值为

（3）作延长线于，则平面

又∵平面平面，且平面平面，

∴平面，

∴与平面所成角为即

∵中，∴

∴中，，

，

即直线与平面所成角的正弦值为