Question

已知数列中，是它的前项和，并且，.

（1）设，求证：是等比数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）设，求前项和.

Answer

（1）证明见解析（2）（3）

【解析】

（1）根据之间关系，式子变形，利用等比数列的定义，可得结果.

（2）根据（1）的条件构造新的等差数列，得到该等差数列通项公式，进而可得.

（3）展开，利用裂项相消求和的方法可得结果.

【解析】
（1），

∴，∴

即：且，

∴是等比数列

（2），

即，∴，

时，，

又∵，∴是以为首项，

为公差的等差数列（或累加得）

∴，

（累加法时需检验符合）

（3）∵，

∴