Question

已知函数，（其中为常数）.

（1）如果函数和有相同的极值点，求的值；

（2）当，恒成立，求的取值范围；

（3）记函数，若函数有个不同的零点，求实数的取值范围.

Answer

（1）或（2）（3）

【解析】

（1）利用导数求极值点可得结果.

（2）利用等价转换的思想，构造新的二次函数，利用二次函数性质可得结果.

（3）根据等价转换的思想，利用导数分别研究的单调性，结合分类讨论的思想判断根的情况，最后作出检验可得结果.

（1），

则，

令，得或，而

在处有极大值，∴，

或；综上：或.

（2）由已知得在上恒成立

等价于在上恒成立，

令，

①若，即时，恒成立

②若，即或时，，得

综上

（3）由题意有有3个不同的实根.

有2个不同的实根，且这2个实根两两不相等.

（1）有个不同的实根，

只需满足或

（2）有3个不同的实根，

1*当即时，

在上为增函数，

在上为减函数，在上为增函数，

在处取得最大值，

即，不符合题意，舍；

2*当即时，不符合题意，舍；

3*当即时，

在上为增函数，

在上为减函数，在上为增函数.

在处取得极大值，

；所以

因为（i）（ii）要同时满足，

故，（注：也对）

下证：这5个实根两两不相等，

即证：不存在使得，

在同时成立；

若存在使得

由，

即，

得

当时，，不符合，舍去；

当时，即存①；

又由，即②；

联立①②式，可得；

当时，

便有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等.

综上，当时，函数有5个不同的零点.