Question

已知下列命题:

①不等式的解集为：或；

②不等式的解集为：；

③不等式的解集为：；

④若不等式对任意都成立，则；

⑤若，则函数，的最小值为.正确的有_____________.（将你认为正确的命题的序号填在横线上）

Answer

①④

【解析】

解二次不等式可判断出命题①的正误；解不等式可判断出命题②的正误；解不等式可判断命题③的正误；由不等式对任意都成立得出或，进而可判断出命题④的正误；利用基本不等式成立的条件判断命题⑤的正误.

对于命题①，由，可得，解得或，

所以，不等式的解集为：或，命题①正确；

对于命题②，解不等式，得，

所以，不等式的解集为，命题②错误；

对于命题③，如下图所示：

利用穿针引线法可知，不等式的解集为或，

命题③错误；

对于命题④，当，即当，则有，合乎题意；

当时，若不等式对任意都成立，

则，解得.

所以，若不等式对任意都成立，则，命题④正确；

对于命题⑤，，则，

由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，但，等号不成立，所以，函数的最小值不是，命题⑤错误.

故答案为：①④.