Question

已知函数.

（1）解关于的不等式；

（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）将不等式变形为，对与的大小进行分类讨论，即可得出该不等式的解集；

（2）利用参变量分离法得出对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，由此可得出实数的取值范围.

（1），由，得，

即.

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式为，该不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.

综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为为；

（2）任意的，，即，

由参变量分离可得对任意的恒成立，

由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，

所以，的最小值为，则，因此，实数的取值范围是.