Question

已知数列的前项和为且，数列满足，，其前9项和为63．

（1）求数列和的通项公式；

（2）令，数列的前项和为，若对任意正整数，都有，求的

最小值.

Answer

（1），；（2）．

【解析】

试题（1）由，得，可得数列是以首项为，公差为的等差数列，可求得，进而求得的通项公式；由，可得数列是等差数列，利用等差数列的通项公式及其前项和公式即可求得；（2）由，利用“裂项求和”可得：数列的前项和，根据的前项和，可设，可得数列单调递增，得出，因为对任意正整数，所以，即可作出证明．

试题解析：（1）由，得，

所以数列是以首项为1，公差为的等差数列，

因此，即.

于是，

因为，所以.

又因为，所以数列是等差数列，

由，得，所以公差.

所以.

（2）由（1）知，

所以

.

所以.

设．

因为，

所以单调递增，故.

因为，

所以.

因为对任意正整数，所以，即的最大值为，的最小值为3，

所以.