Question

如图，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，底面，且．

（1）若点、分别在棱、上，且，，求证：平面；

（2）若点在线段上，且三棱锥的体积为，试求线段的长．

Answer

（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积垂直关系坐标表示表示计算论证线线垂直，再根据线面垂直判定定理得结果；

（2）先利用向量求点面距，再根据体积公式列方程解得向量的坐标，最后根据向量的模的坐标公式求结果.

（1）以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系．

则，，，，，

因为，，所以，，

则，，．

，，即垂直于平面中两条相交直线，

所以平面．

（2），可设，

所以向量的坐标为，

平面的法向量为．

点到平面的距离．

中，，，，所以．

三棱锥的体积，所以．

此时向量的坐标为，，即线段的长为．