Question

（1）如图，对于任一给定的四面体，找出依次排列的四个相互平行的平面，，，，使得，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；

（2）给定依次排列的四个相互平行的平面，，，，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体的四个顶点满足：，求该正四面体的体积．

Answer

（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）根据题意要作出相互平行且相邻距离相等的平面，所以先作直线平行，且取等分点，例如可取的三等分点，，的中点，的中点，则有，，从而可得面面平行；

（2）先将正四面体补形为正方体，结合条件确定正方体的棱长，即可求正四面体的体积．

（1）

取的三等分点，，的中点，的中点，

过三点，，作平面，过三点，，作平面，

因为，，所以平面平面，

再过点，分别作平面，与平面平行，那么四个平面，，，依次相互平行，

由线段被平行平面，，，截得的线段相等知，每相邻两个平面间的距离相等，故，，，为所求平面．

（2）如图，将此正四面体补形为正方体（如图），

分别取、、、的中点、、、，

平面与是分别过点、的两平行平面，若其距离为1，

则正四面体满足条件，右图为正方体的下底面，设正方体的棱长为，

若，因为，，

在直角三角形中，，所以，所以，

又正四面体的棱长为，

所以此正四面体的体积为．