Question

已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）设函数（其中为的导函数），判断在上的单调性；

（2）若函数在定义域内无零点，试确定正数的取值范围.

Answer

(1) 在上单调递增.(2).

【解析】

（1）先分析得到，即得函数在上的单调性；（2）先利用导数求出

，再对a分三种情况讨论，讨论每一种情况下的零点情况得解.

（1）因为，则，

，

∴，

∴在上单调递增.

（2）由知，

由（1）知在上单调递增，且，可知当时，，

则有唯一零点，设此零点为，

易知时，，单调递增；时，，单调递减，

故，其中.

令，

则，

易知在上恒成立，所以，在上单调递增，且.

①当时，，由在上单调递增知，

则，由在上单调递增，，所以，故在上有零点，不符合题意；

②当时，，由的单调性知，则，此时有一个零点，不符合题意；

③当时，，由的单调性知，则，此时没有零点.

综上所述，当无零点时，正数的取值范围是.