Question

设数列的前项和为，对一切，点都在函数的图象上.

（1）求，归纳数列的通项公式（不必证明）.

（2）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为，，，；，，，；，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值.

（3）设为数列的前项积，且，求数列的最大项.

Answer

（1），，，；（2）2010；（3）.

【解析】

（1）化简得到，计算，，，猜想得到答案.

（2）计算，再计算，相加得到答案.

（3）计算，故，故是单调递减，计算得到答案.

（1）因为点在函数的图象上，故，所以.令，得，所以；

令，得，所以；

令，得，所以；

由此猜想：.

（2）因为，所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为，，，；，，，；，

每一次循环记为一组.由于每一个循环含有4个括号，

故是第25组中第4个括号内各数之和.

由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.

同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20.

故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.

注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以.

又，所以.

（3）因为，故，

所以.

由于，

所以，故是单调递减，

于是数列的最大项为.