Question

已知函数.

（1）画出图象并直接写出单调区间；

（2）证明：；

（3）不等式，对任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）图见解析，在上单调递增；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）可将函数解析式化为分段函数，进而画出函数的图象；

（2）分别求出，化简，左右相等，即可证明结果；

（3）由（2）可知，，由图像可知是奇函数，原恒等式转化为，再根据图像可函数是单调递增函数，可得，恒成立，由此即可求出结果．

（1）如图

在上单调递增；

（2），，

（3）

显然，，由（1）知在上递增，

，恒成立，即，恒成立，