Question

已知函数，其中为自然对数的底数．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）写出函数的单调递减区间(无需证明) ；

（Ⅲ）若实数满足，则称为的二阶不动点，求函数的二阶不动点的个数．

Answer

（Ⅰ）1；（Ⅱ），；（Ⅲ）3.

【解析】

（Ⅰ）根据函数解析式，由内而外逐步代入即可求出结果；

（Ⅱ）根据题意，得到函数的解析式，进而可得出其单调递减区间；

（Ⅲ）先由题意，得到，分别讨论，，三种情况，结合函数零点存在定理，即可求出结果.

（Ⅰ）因为，，所以，

所以．

．

（Ⅱ）因为，

当时，，递减区间为：；

当时，，递减区间为；

因此函数的单调递减区间为：，．

（Ⅲ）由题可得：．

当时，由，记，

则在上单调递减，且，，

故在上有唯一零点，即函数在上有唯一的二阶不动点．

当时，由，得到方程的根为，即函数在上有唯一的二阶不动点．

当时，由，记，

则在上单调递减，且，，

故在上有唯一零点，即函数在上有唯一的二阶不动点．

综上所述，函数的二阶不动点有3个．