Question

已知中，内角，，的对边分别为，，，满足.

（1）若，试判断的形状，并说明理由；

（2）若，求周长的取值范围.

Answer

（1）等边三角形，见解析；（2）

【解析】

（1）由可推出，然后结合余弦定理可得，从而可推出是等边三角形

（2）法一：知道角和边，由余弦定理得，然后利用基本不等式可求出的范围；法二：用正弦定理可得，运用此关系可把边向角进行转化可得，然后利用三角函数的知识求出范围即可

（1）由题设，及正弦定理得

，

因为，所以，由，

可得，

故.

因为，故，所以，

因为，又由余弦定理得，

所以，即，

所以，故，

所以是等边三角形；

（2）解法一：的周长，由余弦定理，

，

故，，

所以，

当且仅当时，等号成立.

又在中，所以，

所以周长的取值范围为.

解法二：因为，，由正弦定理，

得，

所以的周长

，

因为，所以，，.

所以周长的取值范围为.