Question

已知函数定义在上且满足下列两个条件:

①对任意都有;

②当时,有，

（1）求，并证明函数在上是奇函数；

（2）验证函数是否满足这些条件；

（3）若，试求函数的零点.

Answer

(1)见解析;(2)见解析;(3).

【解析】

令代入即可求得，令，则可得，即可证明结论

根据函数的解析式求出定义域满足条件，再根据对数的运算性质，计算与并进行比较，根据对数函数的性质判断当时，的符号，即可得证

用定义法先证明函数的单调性，然后转化函数的零点为，利用条件进行求解

（1）对条件中的，令得.

再令可得

所以在（－1，1）是奇函数.

(2)由可得，其定义域为（-1，1），

当时， ∴ ∴

故函数是满足这些条件.

（3）设，则

，，

由条件②知，从而有，即

故上单调递减，

由奇函数性质可知,在（0，1）上仍是单调减函数.

原方程即为，在(-1,1)上单调

又

故原方程的解为.