Question

如图，在三棱柱中，、分别是、的中点.

（1）设棱的中点为，证明：平面；

（2）若，，，且平面平面.

（i）求三棱柱的体积；

（ii）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）（i）12；（ii）.

【解析】

（1）先证明四边形是平行四边形，再证明平面平面，得到平面.

（2）（i）先计算，根据平面，计算体积得到答案.

（ii）先判断是二面角的平面角，再利用边角关系计算得到答案.

21.（1）证明：连接，∵是的中点，是的中点，

可由棱柱的性质知，且；

∴四边形是平行四边形，∴.

∵，分别是、的中点，∴，∴平面平面.

平面，∴平面.

（2）（i），

平面平面且，

∴平面.

∴，；

（ii）在面内作于点在面内作于点，连接.

∵平面平面，

∴平面，

∴是二面角的平面角，

在中，，.

设二面角的大小为，则

，∴.